معادلة شرودينجر

ظهرت معادله شرودينجر سنه 1925 على ايد الفيزيائى النمساوى ارڤين شرودينجر. و بتحتل المعادله دى اهميه خاصه فى ميكانيكا الكم حيث انها بتعتبر زى قانون الحركه التانى لنيوتن اللى بيعتبر اساسى فى الفيزيا الكلاسيكيه.

حسب التعبير الرياضى لميكانيكا الكم, بتترافق كل جمله فيزيائيه مع فضاء هلبرت المركب (المعقد Complex) (وهوه عباره عن فضاء شعاعى) بحيث تتوصف كل حاله لحظيه للجمله بشعاع وحده فى الفضاء الشعاعى ده , وبالتالى بيكون شعاع الحاله زى ترميز (تشفير encoding) لاحتمالات النتايج الممكنه من عمليات القياس بكل اشكالها على الجمله دى . لما تتغير الجمله دى مع الزمن, بيبقى شعاع الحاله ده زى ما يكون تابع للزمن (داله زمنيه).

اعداد الكم الناتجه عن حل معادله شرودينجر :

1. عدد الكم الرئيس n
2. عدد الكم الفرعى l
3. عدد الكم المغناطيسى ml
4. عدد الكم المغزلى ms

$H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$

اعداد الكم الناتجه. و وضح شرودينجر بعد كده مفهوم الاوربيتال واستخدمه بدل المدار بمفهوم نيلس بور:

المدار:خط وهمى على شكل دايره حولين النواه بتدور فيه الالكترونات على بعد ثابت ومحدد عن النواه.

الاوربيتال:منطقه قى الفراغ (منطقه من السحابه الالكترونيه)يحتمل وجود الالكترونات فيها.

و كانت المعادله الموجيه لشرودنجر ومبدا عدم التاكد لهايزنبرج والطبيعه المزدوجه للالكترون لـدى برويلى زى الشواكيش اللى عدلت نظريه بور "اللى نجح فى التوفيق بين نظريه ماكسويل ونموذج رذرفورد" واللى اعتمدت على مفهوم المدار وان الالكترون ما بيشعش فى الحاله المستقره.

و ده شرح لمعادله شرودينجر :

Schrödinger Equation

معادله شرودينجر

معروف ان اى موجه بتنتشر فى اتجاه واحد x ممكن وصفها عن طريق المعادله التفاضليه الى جايه :

(1)

بحيث F بتمثل الداله الموجيه اللى بتعتمد على المكان x والزمن t. والسرعه vph2 بتمثل سرعه الموجه (phase speed), ف لو كنا بنتكلم على موجه صوتيه مثلا بتنتشر فى الهواء يبقى الداله الموجيه F هى مقدار التغير فى التضاغط والتخلخل فى جزيئات الهوا والسرعه vph هى سرعه الصوت فى الهوا و لو كانت موجه ضوء يبقى الداله الموجيه F هى التغير فى المجال الكهربى والمغناطيسى والسرعه هى سرعه الضوء.

فى حاله وصف جسيم بداله موجيه يبقى مربع الداله الموجيه بيعبر عن احتماليه رصد الجسيم فى الفراغ فى وحده الزمن. وهنرمز لالداله الموجيه دى بالرمز Y.

وحيث ان الداله الموجيه متغيره فى المكان والزمان عشان كده هنفترض انها بتاخذ الصوره دي:

Y(x,t) = y(x) f(t) (2)

لما تتصاغ معادله شرودينجر بنفترض نظام متكون من جسيم بيتحرك فى بعد واحد x وبينتشر كموجه وان الجسيم ده بيتفاعل مع اللى بيحيط بيه ومرتبط بيه من خلال داله الجهد V وله طاقه كليه E ثابته و هنفترض ان التردد معروف بدقه n=h/E يبقى الداله F بتكون داله جيبيه على النحو ده:

f(t) = cos 2pn t (3)

بالتعويض فى المعادله (1) بالداله الموجيه فى المعادله (2) نلاقى

بالتعويض فى المعادله (1) نلاقى

(4)

اذا كان الجسيم وكتلته m موجود فى وسط ليه جهد V بتكون الطاقه الكليه E للجسيم والوسط هو مجموع طاقه الحركه Ek وطاقه الوضع المتمثله فى الجهد V.

(5)

بالتعويض فى المعادله (4) من المعادله(5)

(6)

و دى معادله شرودينجر فى بعد واحد واللى بتفترض ان الجسيم بينتشر على شكل موجه وبتتسمى المعادله الموجيه وحيث ان الجسيم بيتفاعل مع المحيط الموجود فيه من خلال الجهد V.

باستخدام معادله شرودينجر على جسيم مرتبط بجهد V بمعنى ان القوه اللى بياثر بيها الوسط على الجسيم المرتبط معروفه ممكن ايجاد الداله الموجيه ومستويات الطاقه المسموحه وكميه الحركه. وحيث ان مربع الداله الموجيه بيعبر عن احتماليه تواجد الجسيم فى مكان x فى وحده الزمن يبفى الحل المقبول للداله الموجيه y لازم يحقق الشروط الحديه اللى بيفرضها الجهد V و الشروط الحديه دى هتادى ل تكميم الطاقه للجسيم يعنى يكون فى قيم محدد بس للطاقه مسموحه.

ولتوضيح ده هنطبق معادله شرودينجر على المثال الى فات لجسيم فى صندوق جهد لانهائى.

Particle in one dimensional potential well of infinite height

من اسهل التطبيقات على معادله شرودينجر هوه حل مشكله جسيم موجود جوه صندوق ليه بعد واحد L وجدار الصندوق بيمثل جهد V لانهائى بحيث ان ما ينغعش ان الجسيم يفلت من الجهد ده وبالتالى يبقى الجسيم هيحدد وجوده فى المسافه بين x=0 و x=L. بحيث يتحرك بحريه فى المدى ده بجهد بيساوى صفر وتكون التصادمات بين الجسيم وجدار الصندوق هى تصادمات مرنه ما يفقدش فيها الجسيم طاقه.

بالتعويض عن قيمه الجهد V=0 فى معادله شرودنجر نلاقى

(7)

باعاده ترتيب المعادله على الشكل ده :

(8)

حيث ان

حيث ان الصندوق بيمثل الجهد المتطبق على الجسيم واعتبر ان جدار الصندوق ذو ارتفاع لانهائى بحيث ما يمكنش للجسيم انه يتواجد بره الصندوق و بكده تبقى الشروط الحديه هى:

V(x) = 0 for 0 < x < L V(x) = ¥ for 0 > x < L y(x) = 0 for 0 ³ x ³ L

والحل اللى بيحقق المعادله التفاضليه(7) لازم يكون متوافق مع الشروط الحديه اللى فاتت يعنى

y(0) = 0 & y(L) = 0

والحل المناسب اللى بيحقق الشروط دى هو

y(x) = A sin Bx

بنلاحظ ان الشرط y(0) = 0 متحقق, وعشان يبقى الشرط التانى y(L) = 0 متحقق يبفى BL=np حيث ان n عدد صحيح وبالتعويض عن B نلاقى

وعليه بتكون الطاقه للجسيم جوه بير الجهد هى

وتكون الداله الموجيه ليه هى

ودى نفس النتايج اللى حصلنا عليها قبل كده واللى توضح ان الطاقه المسموحه للجسيم مكممه